LE ZERO

Par Clothilde Lavanant et Julia Seck

INTRODUCTION

Contrairement à ce que l'on peut croire le zéro n'est pas un concept facile. Son apparition a été tardive et lente. En effet, la première civilisation à l'avoir inventé a attendu plus de 1000 ans avant de sentir le besoin d'exprimer une place vide.

Le zéro est un chiffre et un nombre. Il permet d'exprimer une absence comme une quantité. Le zéro a donc un rôle particulier dans les opérations.

Dans un premier temps nous allons retracer l’histoire de l’invention du zéro. Puis nous allons étudier son rôle dans les opérations usuelles.

 

LE ZERO AU FIL DES CIVILISATIONS

Le zéro est apparu plus tardivement que les autres chiffres.

Il est apparu dans différentes civilisations, dont trois d’entre elles l’ont inventé indépendamment des autres : les babyloniens, les mayas et les indiens.

Le zéro apparait pour la première fois en Mésopotamie chez les babyloniens aux environs de 2000 avant J-C. Mais ce n’était pas encore un nombre ou une quantité, il n’était pas utilisé dans les calculs. Le zéro ne servait que comme chiffre, il marquait une position vide dans le système de numération babylonien.

Au IIIe siècle, le zéro apparait chez les mayas qui développent un système de numération performant. Ce zéro apparait sous différentes formes dont le coquillage.

Le troisième peuple a inventé le zéro est le peuple indien. Il apparait en Inde vers le Ve siècle. A l’opposé des grecs la religion hindoue intègre totalement la notion de vide et d’infini. C’est chez les indiens que le zéro devient pour la première fois un nombre à part entière.

La civilisation grecque de l’Antiquité va rejeter la notion de zéro, pour des raisons philosophiques. Selon la conception aristotélicienne le vide et l’infini n’existe pas.

Comme l’infini le zéro fait peur aux grecs. Les astronomes grecs utilisent néanmoins dans leur table un zéro, l’omicron noté o qui ressemble à notre zéro actuel, mais il s’agit vraisemblablement d’une coïncidence. Les grecs ne comprendront que tardivement l’utilité du zéro pour leurs calculs.

Au VIIIe siècle le zéro apparait dans le monde arabe. Le peuple arabe n’a pas inventé le zéro comme on peut le croire, celui-ci est introduit par un astronome originaire d’Inde à la cour du calife en même temps que tout le système de numération Indien.

Les arabes traduisent alors sunya en as-sifr, qui devient ziffer puis zephiro. Ziffer donnera chiffre er zéphiro donnera zéro. En même temps que l’Islam s’étend dans le monde, cette notion de zéro va s’universaliser. Ceci va ensuite ouvrir la voie au développement de l’algèbre et des techniques de calcul.

Le zéro arrive donc enfin en occident par les arabes au XIIe siècle. Mais il fait une entrée laborieuse dans le langage mathématique. Il souffre des vestiges de la pensée aristotélicienne, mais aussi de la méfiance de l’église.

 

LE ZERO DANS LES OPERATIONS

Le zéro est défini comme le nombre d’éléments de l’ensemble vide. C’est aussi le plus petit nombre entier naturel à ne pas avoir de prédécesseur.

En réalité, il n’y a pas 4 opérations arithmétiques élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division), mais uniquement deux. En effet la soustraction est une addition maquillée tout comme la division est une multiplication.

Plus précisément, la soustraction est une opération qui consiste à additionner l'opposé d'un nombre. Ainsi, x-y=x+(-y). Or, comment définit-on l’opposé d’un nombre x ? C’est le nombre y tel que x+y=0. D’où l’utilité de notre zéro que l’on qualifie d’élément neutre pour notre addition.

La division est une opération qui consiste à multiplier par l'inverse d'un nombre. On nous apprend à l’école qu’il est impossible de diviser par zéro. En effet, diviser a par 0 revient à multiplier a par l’inverse de 0 d’après ce que l’on a énoncé précédemment. Par définition, l’inverse de 0 est donc un nombre c tel que 0 x c =1. Or zéro est absorbant : cela signifie qu’en le multipliant par n’importe quel nombre on obtient toujours zéro. Par conséquent il n’existe pas de nombre c tel que 0 x c= 1.

Donc le zéro n’a pas d’inverse et par conséquent, on ne peut donc pas multiplier par l’inverse de zéro. Voilà pourquoi on ne peut pas diviser par zéro.

 

LE ZERO CHIFFRE SIGNIFICATIF

Lorsque l'on réalise une mesure, le résultat que l'on donne possède un certain nombre de chiffres.

On appelle chiffres significatifs (CS) tous les chiffres comptés de gauche à droite à partir du premier non nul.

Si le zéro est situé à droite du résultat de la mesure alors il est significatif car il donne une information de précision : 1,00 (3 CS) est plus précis que 1,0 (2 CS).

Si le zéro est au milieu du résultat de la mesure alors il est également significatif, il fait partie intégrante du résultat : 1,0306 possède 5 CS.

Si le zéro est à gauche alors il n'est pas significatif.

 

CONCLUSION

Le zéro n'est pas apparu en même temps que les autres chiffres. En effet il est apparu bien plus tard, au moment où des civilisations ont senti le besoin de marquer une position de vide dans leur système de numération.

Le zéro a des propriétés spécifiques. Pour l’addition, il est qualifié d'élément neutre : il laisse tous les autres éléments inchangés lors de l'addition. Il est qualifié d'absorbant pour la multiplication : en multipliant par zéro, on obtient toujours zéro.

Ces propriétés lui sont propres et le distinguent.

Le zéro n'est pas un chiffre comme les autres. Malgré son apparition tardive, il reste aujourd'hui l’élément le plus indispensable des mathématiques.

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